Lineare Algebra Beispiele

$x + y = 60$ , $25 x + 15 x = 1150$

Schritt 1

Addiere $25 x$ und $15 x$ .

$x + y = 60, 40 x = 1150$

Schritt 2

Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 40 & 0 & 1150 \end{array}]$

Schritt 3

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 3.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 40 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 3.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 40 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 40 - 40 \cdot 1 & 0 - 40 \cdot 1 & 1150 - 40 \cdot 60 \end{array}]$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 0 & - 40 & - 1250 \end{array}]$

Schritt 3.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{40}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 3.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{40}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ - \frac{1}{40} \cdot 0 & - \frac{1}{40} \cdot - 40 & - \frac{1}{40} \cdot - 1250 \end{array}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 60 \\ 0 & 1 & \frac{125}{4} \end{array}]$

Schritt 3.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 3.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 60 - \frac{125}{4} \\ 0 & 1 & \frac{125}{4} \end{array}]$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{115}{4} \\ 0 & 1 & \frac{125}{4} \end{array}]$

Schritt 4

Verwende die Ergebnismatrix, um die endgültigen Lösungen für das Gleichungssystem anzugeben.

$x = \frac{115}{4}$

$y = \frac{125}{4}$

Schritt 5

Die Lösung ist die Menge geordneter Paare, die das System erfüllen.

$(\frac{115}{4}, \frac{125}{4})$

Schritt 6

Das Zerlegen eines Lösungsvektors durch Umstellen jeder Gleichung, die in der reduzierten Zeilenstufenform der erweiterten Matrix wiedergegeben ist, durch Auflösen nach der abhängigen Variablen in jeder Zeile, ergibt die Vektorgleichung.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{115}{4} \\ \frac{125}{4} \end{array}]$